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教你认清极点极线的真面目, 虽粗浅,但绝对受益!

发布时间:2021-04-21 15:31 作者:admin 来源:未知 点击:133 字号:

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极点与极线是高等几何中一个基本且重要的概念,虽然在中学教材中没有具体介绍,但以它为背景命制的高考试题却经常出现。因此,掌握极点极线的基本知识,很多时候能够让我们俯视问题的本质,从而以最优的视角确定解题方向,寻找更便捷的解题途径。本文将从普通一线教师的视角,来认识极点极线问题。

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极点极线定义

我们都知道,一般的二次曲线基本形式为:

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而圆锥曲线仅是在某些系数为0的条件下的特例。

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我们称点

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和直线

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为配极关系(对偶关系),其中点

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为直线

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的极点,直线

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为点

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的极线。其实这个极线,记起来也特别简单:①平方换成对应积:

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②一次方换成对应平均数:

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③交叉项换成对应交叉积的平均数:

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当然,对于圆锥曲线来说,是没有交叉项的。所以,只要记住:“平方换成积,一次方换成平均数“就一切OK了!好了,知道了极点、极线的概念及写法,我们就可以进一步在圆锥曲线中去理解它了。                                                                            至于这么好的结论是怎么发现的,也就没必要追究太深了……

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圆锥曲线中极点极线

其实,圆锥曲线中的极点与极线,就目前高考而言,务必要熟悉其中的几个性质。为了方便,下面我都以椭圆为例来进行说明或展示。至于双曲线和抛物线,处理方法和结论也都是类似的。一、位置关系:①当点

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在椭圆上时,极线

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是以点

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为切点的切线;

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②当点

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在椭圆外时,极线

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与曲线相交,且为由点

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向椭圆所引切线的切点弦所在直线;

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③当点

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在椭圆内时,极线

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与椭圆相离,极线

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为经过点

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的弦在两端点处切线交点的轨迹。且极线

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与以

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为中点的弦所在直线平行.

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当然,还要知道的是,如果极点为焦点,则极线为准线。

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(极点极线关系的动态演示)二、比例关系④若过点

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的直线与曲线交于A,B两点,与极线

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交于点Q,则必有:

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如果从定比分点的角度看,即点Q和点P分弦AB之比总是相等。

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极点极线的应用

一、判断直线与曲线的位置关系

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从两个小题可以看出,其实任何一条直线都可以看成曲线的极线的。只是一定要将直线方程写成极线方程的形式。那么,在读完题后,脑子里就已经知道了答案,心里是不是觉得很爽歪歪呢!

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二、直线过定点问题

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第2问其实就是考查极点极线的概念了。

所以说,除了记住相关结论之外,还是要理解结论的证明过程,这样在再次相遇时,才能淡定从容的去应对。

那么,现在知道了这样的结论后,是不是以后遇到直线过定点的问题,要先了解下是否会有一条隐含的极线呢?

三、动点在定直线上

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虽说这道考题是以极点极线为背景的,但其实更多的,还是考查一个学生应对解析几何问题的整体思路。

当然,过程中对方程问题的处理技巧,也确实能够反映一个人的数学功底了。

相关链接:

原来这才是真正的切割线定理

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